Question 1

Énoncé

  Soit  \(\text{exp}\) la fonction définie et dérivable sur  \(\mathbb{R}\) telle que :  \(\begin{cases}\ \text{pour tout}\ x \in \mathbb{R}\ \text{exp'}(x)=\text{exp}(x) \\ \text{exp}(0)=1 \end{cases}\)

Dans cette activité, on admet que cette fonction existe et qu'elle est unique et on s'intéresse à ses propriétés algébriques. 

Question 1. La fonction \(\boldsymbol{\text{exp}}\) ne s'annule pas sur  \(\mathbb{R}\)

On considère la fonction `\phi` , définie sur  \(\mathbb{R}\)  par :  \(\phi(x)=\text{exp}(x)\text{exp}(-x)\) . 
    a. Calculer  `\phi^{\prime}(x)` . 
    b. Calculer  `\phi(0)`  et en déduire que, pour tout  `x`  réel,  \(\text{exp}(x)\text{exp}(-x)=1\) .
    c. Conclure quant au fait que \(\exp\) ne s'annule pas sur \(\mathbb R\) .